Что такое коэффициент возвращающего момента
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол появляется касательная составляющая силы тяжести (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Если обозначить через линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса , то его угловое смещение будет равно . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению , а
Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка ; при этом величина отличается от не более чем на . Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Таким образом, тангенциальное ускорение маятника пропорционально его смещению , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс физического маятника находится ниже оси вращения на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
| . |
Здесь – расстояние между осью вращения и центром масс .
Здесь – собственная частота малых колебаний физического маятника .
Более строгий вывод формул для и можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение есть вторая производная углового смещения по времени:
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции можно выразить через момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс маятника и параллельной оси вращения:
| . |
Окончательно для круговой частоты свободных колебаний физического маятника получается выражение:
Лекция 4. Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Модель гармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов: физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот. Свободные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, декремент, логарифмический декремент затухания, добротность. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Параметрический резонанс.
4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение
Воспользовавшись основным уравнением классической динамики (уравнением второго закона Ньютона) можно получить уравнение движения материальной точки (тела), совершающего гармоническое колебание:
F = m a или F = ma, (4.1)
где a = d 2 x/dt 2 = — ω0 2 x — ускорение материальной точки;
F = å F i— результирующая сила, под действием которой совершается гармоническое колебание (возвращающая сила);
F i — i-я сила, действующая на материальную точку.
где k = mω0 2 — коэффициент возвращающей силы, физический смысл которого заключается в том, что он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.
Из уравнения (4.2) видно, что сила, под действием которой совершается гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную ему. Она называется возвращающей силой. Возвращающая сила стремится вернуть материальную точку в положение равновесия.
Возвращающие силы могут иметь различную природу. Например, они могут возникать за счет деформации. Силы, возникающие за счет упругой деформации, называются упругими. Силы, имеющие иную природу, — квазиупругими (как бы упругими).
Таким образом, уравнение движения материальной точки при гармоническом колебательном движении имеет вид
С точки зрения математики уравнение (4.3) — однородное дифференциальное второго порядка, решением которого является выражение вида
где x — смещение;
ω0 — собственная (круговая или циклическая) частота;
Решая дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения, можно получить значение, например, периода колебаний, собственной частоты.
4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники.
Определение их периодов и частот
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (4.3):
Колебания гармонического осциллятора являются примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.
В качестве примеров гармонических осцилляторов рассмотрим гармонические колебания систем, называемых пружинным, физическим и математическим маятниками.
Круговая (циклическая) частота
положения равновесия), ω 0 — круговая частота гармонических колебаний, ω 0 t + α — фаза, α — начальная фаза (при t = 0).
Система, совершающая гармонические колебания, называется
классическим гармоническим осциллятором или колебательной
изменяются по законам
= x = A ω 0 cos ( ω 0 t + α ) ,
= − A ω 0 sin ( ω 0 t + α ) .
Из соотношений (6.6) и (6.4) получим
откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямо пропорционально смещению точки от положения равновесия и направлено противоположно смещению.
Из уравнений (6,6), (6,7) получим
Уравнение (6.8) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний , а (6.4) является его решением. Подставив
(6.7) во второй закон Ньютона F = ma r , получим силу, под действием которой происходят гармонические колебания
Обозначим m ω 2
Из (6.9), (6.10) получим
Эта сила, прямо пропорциональная смещению точки от положения равновесия и направленная противоположно смещению, называется возвращающей силой, k называется коэффициентом возвращающей силы . Таким свойством обладает сила упругости . Силы другой физической природы, подчиняющиеся закону (6.11),
ырс√ (Лабораторные по физике), страница 11
PDF-файл из архива «Лабораторные по физике», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «физика» из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «лабораторные работы», в предмете «физика» в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 11 страницы из PDF
Спомощью графика определить момент инерции системы J, как угловойкоэффициентпостроенногографикаJM ,гдеМисоответствуют друг другу.Таблица 2.5Большой шкив r2 = 4 см№п.п123123123123mкгhмtcам/tcс2МНмс–2Jэкспкгм2МтрНм7512. Найти момент силы трения М тр ( М тр равен координате точкипересечения графика с осью М) (рис.2.14).13. Проделать те же измерения для шкива другого радиуса (r2 = 4см) и снова определить J и М тр . Результаты измерений занести втабл.2.5.14. Выключить установку, нажав на кнопку “Сеть”.15.
Рассчитать доверительную и относительную погрешностьрезультата измерений момента инерции для одной серии опытов.Контрольные вопросы1. Напишите закон сохранения энергии применительно к даннойработе.2. Получите формулу для расчета вращающего момента М.3. Что такое центр тяжести?4. Чему равен момент сил тяжести всех частиц тела относительнолюбой горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести?ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6Определение момента инерции тела искорости полета “пули”Цель работы: изучение динамики вращательноготвердого тела с помощью крутильного маятника.движенияМетодика измеренийРассмотрим систему, состоящую из “пули” и m vпмаятника (рис.2.15).
“Пуля” выстреливается вмаятник и застревает в пластилине, вызываяLотклонение маятника. Удар считается абсолютнонеупругим, отклонение маятника от положенияZравновесия за время соударения незначительным.Механическая энергия системы при неупругомударе уменьшается.Сила тяжести маятника уравновешивается силойреакции подвеса. Кроме этой силы при ударевозникают горизонтальные силы в местахРис. 2.15крепления проволок, препятствующие смещению(Вид сверху)оси маятника. Действие этих горизонтальных силприводит к изменению импульса системы.
В то же время моментыуказанных сил относительно оси вращения маятника равны нулю,поскольку линии их действия проходят через ось.76Следовательно, для системы маятник — “пуля” можно применитьзакон сохранения момента импульса (2.23):mпvL = J(2.57)Величина слева — это момент импульса системы до удара, справа после удара; mп — масса “пули”; v — ее скорость; L — расстояние от осимаятника до центра “пули” в момент удара (считается, что “пуля”летела перпендикулярно к оси стержня маятника); J — момент инерциимаятника с прилипшей к нему пулей; — угловая скорость маятникасразу после удара.Рассмотрим вращательное движение маятника после удара.Пренебрегая трением, можно применить для данного этапа законсохранения механической энергии.
Тогда кинетическая энергиямаятника сразу после удара равна потенциальной энергии упругойдеформации проволок в момент максимального отклонения маятника:2J2c22(2.58).Здесь — максимальный угол отклонения маятника, с — коэффициентвозвращающего момента, используемый при описании деформациикручения. Для расчета коэффициента с используется соотношение:G R142 l1с с1 с 2R 42,l2(2.59)где с1, R1, l1 — коэффициент возвращающего момента, радиус и длинанижней проволоки; с2, R2, l2 — то же для верхней проволоки; G – модульсдвига материала проволок: для стали G = 8 1010 Н/м2.При расчете момента инерции маятника после удара моментоминерции “пули” можно пренебречь, тогдаJ = Jм + 2Jг,(2.60)где Jм — момент инерции маятника без грузов, Jг — момент инерции груза3 (рис.2.16) относительно оси маятника Z.По теореме Штейнера (2.20):JгJ0ma2r2m4h212ma 2 .(2.61)Здесь J0 — момент инерции груза относительно оси, проходящей черезего центр и параллельной оси маятника, r — радиус груза (диска), h толщина диска, а — расстояние от его центра масс до оси маятника Z, m- масса груза (рис.2.16).77Используя соотношения (2.60) и (2.61), получим выражения длярасчета моментов инерции маятника при двух положениях грузовr2 h2J1 J м 2ma124 12(2.62)22rhJ 2 J м 2ma 22 .4 12Здесь и далее индекс 1 соответствует минимальному расстояниюмежду грузами, индекс 2 — максимальному.Запишем закон сохранения момента импульса (2.57) для двухположений грузовmп vL J1 1(2.63)mп vL J 2 2 .Запишем закон сохранения энергии (2.58) для минимального имаксимального расстояния между грузамиJ1 12 c 1222(2.64)22J2 2 c 2.22Решая совместно уравнения (2.62) — (2.64), получаем формулу длярасчета момента инерции маятника2m(a 22 22 a12 12 )r2 h2Jм2m.(2.65)2241212Решая систему уравнений (2.63) и (2.64), получаем выражение длярасчета скорости пули1 J1cv.(2.66)mп LЭкспериментальная установкаОбщий вид установки показан на рис.
2.16.Основным элементом установки является маятник. Он представляетсобой горизонтальный стержень 7, закрепленный на вертикальнойпроволоке 6, натянутой между кронштейнами 5 установки. Вдольстержня могут перемещаться два груза 3 массой m = 0,18 кг каждый.Винты 4 служат для закрепления грузов в определенном положении.На концах стержня находятся пластины 1, покрытые с однойстороны пластилином. На торце пластины находится вертикальнаячерта, которая служит индикатором для шкалы на прозрачном экране782, закрывающем маятник, при определении положения и углаотклонения маятника от положения равновесия. На пластине имеютсяделения, показывающие расстояние от оси подвеса маятника.
На самомстержне 7 нанесены поперечные штрихи на расстоянии 1 см друг отдруга, первый на расстоянии 0,02 м от оси.5Z67849310a21arZZhДиск (груз)Рис. 2.16«Пистолет» служит для стрельбы “пулями” (алюминиевымикольцами). Мишенями являются пластины 7 маятника. В пистолетеимеются две пары ручек — неподвижные 9 подвижные 10. Последниесоединены со стержнем 8 на который помещается “пуля”.Порядок выполнения работыУпражнение 1.Определение момента инерции крутильного маятника791. Установить грузы маятника симметрично оси Z на минимальномрасстоянии друг от друга, измерить расстояние от оси проволоки доцентра груза а1 по шкале маятника.
Результат этого и последующихизмерений заносить в табл.2.6.2. Замерить по шкале на кожухе угловое положение неподвижногомаятника 0. Абсолютная величина 0 не должна превышать 5 .Таблица 2.6а1 =№0п/пград1234Среднее–а2 =град–1градLм0градград––2град3. Зарядить “пистолет”:а) сдвинуть ручки 9 вперед до упора;б) Повернуть ручки 9 и поместить на стержень “пулю”;в) Вернуть ручки 9 в горизонтальное положение и оттянуть ихназад до щелчка.4. Убедившись, что маятник неподвижен, произвести выстрел,наклонив ручки 9. Произвести отсчет максимального угла поворотамаятника . Рассчитать угол отклонения маятника по формуле 1 = – 0.5.
Измерить по шкале маятника расстояние L от следа пули до осимаятника Z.6. Повторить измерения п.п 2. 5 не менее 4-х раз.7. Рассчитать среднее значение максимального угла отклонениямаятника 1 , как среднее арифметическое нескольких значений 1, исреднее значение расстояния L .8. Установить грузы маятника на максимальном расстоянии друг отдруга, измерить а2 по шкале маятника.9. Произвести измерения по п.п 2. 4 не менее 4 раз и рассчитатьугол отклонения маятника по формуле 2 = – 0.10. Рассчитать среднее значение максимального угла отклонения2 при данном положении грузов.11. Измерить толщину груза h по шкале маятника и радиус грузов rпри помощи штангенциркуля.12.
Рассчитать момент инерции маятника по формуле (2.65),подставляя полученные значения углов 1 и 2 в радианах.13. Рассчитать доверительную и относительную погрешность результата.80Упражнение 2.Определение скорости полета пули1. Измерить длины проволок l1 и l2 и их диаметры D1 = 2R1 и D2 = 2R2 .2. По формуле (2.59) рассчитать коэффициент возвращающегомомента с.3.
Используя выражение (2.62), рассчитать момент инерциимаятника с грузами J1. Данные, необходимые для расчета получены впервом упражнении, масса “пули” mп = 0.75 г.4. По формуле (2.66) для средних значений L и 1 рассчитатьсреднюю скорость полета пули v (подставляя 1 в радианах).5. Рассчитать доверительную и относительную погрешностьопределения скорости пули.Контрольные вопросы1. Почему систему крутильный маятник — “пуля” можно считатьизолированной?2.
Записать формулы для кинетической энергии вращающегося телаи потенциальной энергии закрученной проволоки.3. Что такое коэффициент возвращающего момента?4. Как можно определить момент инерции маятника?Вопросы по разделу 21. Кинематические характеристики вращательного движения тела.2. Нормальное и тангенциальное ускорение тела.3. Понятие момента силы относительно неподвижной точки.Каковы единицы измерения момента силы?4. Момент импульса относительно неподвижной точки. Уравнениемоментов.5.
Закон сохранения момента импульса для системы материальных точек.6. Понятие момента силы относительно оси.7. Понятие момента импульса твердого тела относительно оси.8. Написать основное уравнение динамики вращательного движения.9. Что такое момент инерции тела? Каков его физический смысл?10. Расчет момента инерции стержня относительно оси,проходящей через центр масс перпендикулярно стержню.11. Расчет момента инерции диска относительно оси, проходящейчерез центр масс перпендикулярно плоскости диска.12. Теорема Штейнера, пример ее применения.13.
Кинетическая энергия вращающегося тела.14. Закон сохранения момента импульса для твердого тела,вращающегося относительно неподвижной оси.81РАЗДЕЛ 3Механические колебания и волны3.1 Незатухающие гармонические колебания. МаятникиКолебаниями называются процессы, характеризующиеся той илииной степенью повторяемости во времени. По физической природеколебания могут быть механическими, электромагнитными и др.Колебания называются периодическими, если значения физическихвеличин, характеризующих состояние системы, повторяются черезравные промежутки времени. Минимальный из этих промежутковназывается периодом колебаний Т.
За период колебаний совершаетсяодно полное колебание. Число полных колебаний, совершаемых вединицу времени, называется частотой колебаний1f.(3.1)ТВеличина=2 f(3.2)называется круговой или циклической частотой колебаний.Из (3.1) и (3.2) следует, что круговая частота и период колебанийсвязаны следующим образом:Т2(3.3).При периодических колебаниях величины х в любой моментвремени t выполняется соотношение x(t) = x(t + T).Гармоническимколебательнымдвижениемназываетсяпериодическое движение, при котором смещение точки от положенияравновесия в зависимости от времени t изменяется по закону синуса(или косинуса):x A sin(0t),(3.4)где А — амплитуда колебания — максимальное абсолютное значение х;) — фаза0 — круговая частота гармонических колебаний; ( 0t +колебания; — начальная фаза — фаза колебаний в момент времени t = 0.Значения амплитуды А и начальной фазы полностью определяютсяначальными условиями системы.Скорость v и ускорение а при гармонических колебанияхизменяются по законамdx(3.5)vx A 0 cos( 0 t);dt82ad2xdt 2xA20 sin( 0 t).(3.6)Из выражений (3.6) и (3.4) получима20 х,(3.7)откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямопропорционально смещению точки от положения равновесия и всегданаправлено противоположно ему.Из уравнений (3.6) и (3.7) получаемx20×0.(3.8)Выражение (3.8) называется дифференциальным уравнениемгармонических колебаний, а функция (3.4) является решением этогоуравнения.