Как найти кпд цикла
Перейти к содержимому

Как найти кпд цикла

  • автор:

25. Цикл Карно и его кпд для идеального газа.

Цикл Карно— это обратимый круговой процесс, состоящий из двух адиабатических и двух изотермических процессов. В процессе Карно термодинамическая система выполняет механическую работу и обменивается теплотой с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные, но различающиеся температуры. Резервуар с более высокой температурой называется нагревателем, а с более низкой температурой — холодильником.

КПД для идеального газа— Вычислим КПД цикла Карно для идеального газа. При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остаётся постоянной. Поэтому количество полученной газом теплоты равно работе , совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2.(рис 2)Эта работа равна

,

где – масса идеального газа в тепловой машине.

Количество отдаваемой холодильнику теплоты равно работе , затраченной на сжатие газа при переходе его из состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна

.

Для того чтобы цикл был замкнутым, состояние 1 и 4 должны лежать на одной и той же адиабате. Отсюда вытекает условие

.

Аналогично для состояний 2 и 3 должно вытекать условие

.

Разделив одно соотношение на другое, приходим к условию замкнутости цикла

.

Теперь подставляя и в выражение для КПД, получим

. (2)

В результате получим формулу для КПД цикла Карно:

26. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям делалось предположение, что внешние силы не действуют на молекулы газа, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Но молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Сила тяжести, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят газ к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с высотой уменьшается. Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая при этом, что масса всех молекул одинакова, поле тяготения однородно и температура постоянна.

Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 1), то на высоте h+dh оно равно p+dp (при dh>0 dp<0, так как давление с высотой уменьшается). Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м 2 : где ρ — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом интервале плотность газа можно считать постоянной). Значит, (1) Зная уравнение состояния идеального газа pV=(m/M) RT (m — масса газа, М — молярная масса газа), находим, что Подставив это выражение в (1), получим или С изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от р1 до р2 (рис. 67), т. е. или (2) Выражение (2) называется барометрической формулой. Она позволяет вычислить атмосферное давление в зависимости от высоты или, измеряя давление, найти высоту: Так как высоты считаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (2) может быть представлено в виде (3) где р — давление на высоте h. Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на применении формулы (3). Из этой формулы следует, что чем тяжелее газ, тем давление с высотой убывает тем быстрее. Барометрическую формулу (3) можно преобразовать, если воспользоваться формулой p=nkT: где n – концентрация молекул на высоте h, n0 – то же, на высоте h=0. Так как M=m0NA (NA – постоянная Авогадро, m0 – масса одной молекулы), a R=kNA, то (4) где m0gh=P — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е. (5) Выражение (5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него видно, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы находятся в состоянии хаотического теплового движения и имеют одинаковую массу и , то распределение Больцмана (5) применимо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Задачи на нахождение КПД тепловых машин с использованием графиков

Люди научились летать в космос, покорять недра Земли и погружаться в глубины океана. Эти и другие достижения возможны благодаря способности извлекать максимум пользы из имеющихся ресурсов,а именно получать тепловую энергию различными доступными способами. Сегодня мы разберем задачи, которые заставят тепловые процессы играть на нашей стороне.

Тепловые машины и их КПД

Рекомендация: перед тем как приступить к выполнению задач неплохо было бы повторить тему «Уравнение состояния идеального газа» . Но ключевую теорию, на которой основано решение задач, сейчас разберем вместе.

Вспомним, что фазовые переходы — это переход из одного агрегатного состояния в другое. При этом может выделяться большое количество теплоты.

Именно благодаря этому они и стали такими полезными для нас. Например, в ядерных реакторах воду используют в качестве рабочего тела, то есть она нагревается вследствие энергии, полученной из ядерных реакций, доходит до температуры кипения, а затем под большим давлением уже в качестве водяного пара воздействует на ротор генератора, который вращается и дает нам электроэнергию! На этом основан принцип работы атомных электростанций.

Мы не почувствуем, как испарится капелька у нас на руке, потому что это не требует много тепла от нашего тела. Но мы можем наблюдать, как горят дрова в мангале, когда мы жарим шашлык, потому что выделяется огромное количество теплоты. А зачем мы вообще рассматриваем эти фазовые переходы? Все дело в том, что именно фазовые переходы являются ключевым звеном во всех процессах, где нас просят посчитать КПД, от них нашему рабочему телу и подводится теплота нагревателя.

Человечество придумало такие устройства, которые могут переработать тепловую энергию в механическую.

Тепловые двигатели, или тепловые машины, — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую.

Их устройство довольно просто: они на входе получают какую-то энергию (в основном — энергию сгорания топлива), а затем часть этой теплоты расходуется на совершение работы механизмом. Например, в автомобилях часть энергии от сгоревшего бензина идет на движение. Схематично можно изобразить так:

Рабочее тело — то, что совершает работу — принимает от нагревателя количество теплоты Q1, из которой A уходит на работу механизма. Остаток теплоты Q2 рабочее тело отдает холодильнику, по сути — это потеря энергии.

Физика не была бы такой загадочной, если б все в ней было идеально. Как и в любом процессе или преобразовании, здесь возможны потери, зачастую очень большие. Поэтому «индикатором качества» машины является КПД, с которым мы уже сталкивались в механике:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.

Мы должны понимать, что КПД на практике никогда не получится больше 1, поскольку всегда будут тепловые потери.

Полезную работу можно расписать как Q1 — Q2 (по закону сохранения энергии). Тогда формула примет вид:

\(\eta = \frac = 1 — \frac\)

Давайте попрактикуемся в применении данной формулы на задаче номер 9 из ЕГЭ.

Задача. Тепловая машина, КПД которой равен 60%, за цикл отдает холодильнику 100 Дж. Какое количество теплоты за цикл машина получает от нагревателя? (Ответ дайте в джоулях).

Решение:

Давайте сначала вспомним нашу формулу для КПД:

где \(Q_1\) — это теплота, которую тело получает от нагревателя, \(Q_2\) — теплота, которая подводится к холодильнику.

Тогда отсюда можно вывести искомую теплоту нагревателя:

Ответ: 250 Дж

Цикл Карно

Мы знаем, что потери — это плохо, поэтому должны предотвращать их. Как это сделать? Нам ничего делать не нужно, за нас уже все сделал Сади Карно, французский физик, разработавший цикл, в котором машины достигают наивысшего КПД. Этот цикл носит его имя и состоит из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим, как этот цикл выглядит в координатах p(V).

  • Температура верхней изотермы 1-2 — температура нагревателя (так как теплота в данном процессе подводится).
  • Температура нижней изотермы 3-4 — температура холодильника (так как теплота в данном процессе отводится).
  • 2-3 и 4-1 — это адиабатические расширение и сжатие соответственно, в них газ не обменивается теплом с окружающей средой.

Цикл Карно — цикл идеальной тепловой машины, которая достигает наивысшего КПД.

Формула, по которой можно рассчитать ее КПД выражается через температуры:

Не то круто, что красиво, а то, что по Карно работает! Поэтому присматривайте такой автомобиль, у которого высокий КПД.

Приступим к задачам

Задачи на данную тему достаточно часто встречаются в задании 27 из КИМа ЕГЭ. Давайте разберем некоторые примеры.

Задание 1. Одноатомный газ совершает циклический процесс, как показано на рисунке. На участке 1–2 газ совершает работу A12 = 1520 Дж. Участок 3–1 представляет собой адиабатный процесс. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно |Qхол| = 4780 Дж. Найдите работу газа |A13| на адиабате, если количество вещества постоянно.

Решение:

Шаг 1. Первое, с чего лучше начинать задачи по термодинамике — исследование процессов.

Посмотрим на участок 1-2 графика: продолжение прямой проходит через начало координат, поэтому график функционально можно записать, как p = aV, где a — какое-то число, константа. Графиком является не изотерма, поскольку график изотермы в координатах p-V — гипербола. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует: \(\frac = const\). Отсюда можно сделать вывод, что возрастает температура, так как растут давление и объем. Температура и объем растут, значит, увеличивается и внутренняя энергия и объем соответственно.

Участок 2-3: процесс изохорный, поскольку объем постоянен, следовательно, работа газом не совершается. Рассмотрим закон Шарля: \(\frac

= const\). Давление в этом процессе растет, тогда растет и температура, поскольку дробь не должна менять свое значение. Делаем вывод, что внутренняя энергия тоже увеличивается.

Участок 3-1: адиабата по условию, то есть количество теплоты в этом переходе равна нулю из определения адиабатного процесса. Работа газа отрицательна, так как газ уменьшает объем.

Оформим все данные в таблицу.

Определим знаки Q, используя первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.

Из этих данных сразу видно, что количество теплоты, отданное холодильнику — это количество теплоты в процессе 2-3.

Шаг 2. Первый закон термодинамики для процесса 1-2 запишется в виде:

Работа A12 — площадь фигуры под графиком процесса, то есть площадь трапеции:

Запишем изменение внутренней энергии для этого процесса через давление и объем. Мы выводили эту формулу в статье «Первое начало термодинамики»:

Заметим, что это в 3 раза больше работы газа на этом участке:

\(\Delta U_ <12>= 3A_ <12>\rightarrow Q_ <12>= 4A_<12>\).

Шаг 3. Работа цикла — площадь фигуры, которую замыкает график, тогда . A = A12 — |A31|. С другой стороны, работа цикла вычисляется как разность между энергиями нагревателя и холодильника: A = Q12 — |Q31|.

Сравним эти формулы:

подставим выражения из предыдущего пункта:

Ответ: 220 Дж

Задание 2. Найти КПД цикла для идеального одноатомного газа.

Решение:

Шаг 2. Найдем процесс, который соответствует получению тепла от нагревателя. Воспользуемся теми же приемами, что и в прошлой задаче:

Посмотрим на участок 1-2 графика: давление растет, объем не меняется. По закону Шарля \(\frac

= const\) температура тоже растет. Работа газа равна 0 при изохорном процессе, а изменение внутренней энергии положительное.

2-3: давление не меняется, растет объем, а значит, работа газа положительна. По закону Гей-Люссака \(\frac = const\) температура тоже растет, растет и внутренняя энергия.

3-4: давление уменьшается, следовательно, и температура уменьшается. При этом процесс изохорный и работа газа равна 0.

4-1: давление не меняется, объем и температура уменьшаются — работа газа отрицательна и внутренняя энергия уменьшается.

Оформим данные в таблицу:

Отметим, что необходимое Q = Q12 + Q23.

Шаг 3. Запишем первый закон термодинамики для процессов 1-2 и 2-3:

\(Q_ <12>= U_ <12>+ A_ <12>= \Delta U_ <12>= \frac<3><2>(2p_1V_1 -p_1V_1) = \frac<3><2>p_1V_1\).
\(Q_ <23>= \Delta U_ <23>+ A_<23>\), работу газа найдем как площадь под графиком: A23 = 2p1(3V1 — V1) = 4p1V1.
\(\Delta U_ <12>= \frac<3><2>(2p_1 * 3V_1 — 2p_1V_1) = 6p_1V_1\).
\(Q_ <23>= \Delta U_ <23>+ A_ <23>= 10p_1V_1\).

Ответ: 17%

Теперь вас не должно настораживать наличие графиков в условиях задач на расчет КПД тепловых машин. Продолжить обучение решению задач экзамена вы можете в статьях «Применение законов Ньютона» и «Движение точки по окружности».

Фактчек

  • Тепловые двигатели — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую.
  • Тепловая машина принимает тепло от нагревателя, отдает холодильнику, а рабочим телом совершает работу.
  • Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.
    \(\eta = \frac= \frac= 1 — \frac\)
  • Цикл Карно — цикл с максимально возможным КПД: \(\eta = \frac= 1 — \frac\)
  • Не забываем, что работа считается, как площадь фигуры под графиком.

Проверь себя

Задание 1.
1 моль идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2, а потом — в состояние 3 так, как это показано графике. Начальная температура газа равна T0 = 350 К. Определите работу газа при переходе из состояния 2 в состояние 3, если k = 3, а n = 2.

  1. 5672 Дж
  2. 4731 Дж
  3. 5817 Дж
  4. 6393 Дж

Задание 2.
1 моль идеального одноатомного газа совершает цикл, который изображен на pV-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры, изобары. Модуль отношения изменения температуры газа при изобарном процессе ΔT12 к изменению его температуры ΔT34 при изохорном процессе равен 1,5. Определите КПД цикла.

  1. 0,6
  2. 0,5
  3. 0,8
  4. 1

Задание 3.
В топке паровой машины сгорело 50 кг каменного угля, удельная теплота сгорания которого равна 30 МДж/кг. При этом машиной была совершена полезная механическая работа 135 МДж. Чему равен КПД этой тепловой машины? Ответ дайте в процентах.

  1. 6%
  2. 100%
  3. 22%
  4. 9%

Задание 4.
С двумя молями одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1–2–3–1 (см. рис.). Чему равна работа, совершаемая газом на участке 1–2 в этом циклическом процессе?

  1. 4444 Дж
  2. 2891 Дж
  3. 4986 Дж
  4. 9355 Дж

Ответы:1 — 3; 2 — 1; 3 — 4; 4 — 3.

Как определить КПД цикла

КПД (коэффициент полезного действия) цикла является важным показателем, помогающим определить эффективность работы системы. Он позволяет измерить, сколько полезной работы было выполнено в сравнении с затраченной энергией.

Для определения КПД цикла необходимо понимание его составляющих. Цикл состоит из процесса поступления рабочего тела, его преобразования и подачи обратно в систему. Рабочее тело может быть газом, жидкостью или паром, а цикл может быть открытым или закрытым. Все эти факторы влияют на КПД цикла и требуют учета при его расчете.

Но как точно определить КПД цикла? Для этого необходимо рассчитать отношение полезной работы к затраченной энергии и выразить результат в процентах. Для некоторых систем расчет КПД может быть достаточно сложным процессом, требующим знания физических законов и специальных формул.

Важно отметить, что КПД цикла не может быть больше 100%, так как это бы означало, что система создает энергию из ничего. В реальности большинство систем имеют КПД гораздо ниже 100%, из-за различных факторов, таких как потери тепла и трения.

Знание и понимание КПД цикла является важным для разработки и улучшения различных систем, включая двигатели, электростанции и теплообменники. Расчет КПД позволяет определить эффективность работы системы, что помогает снизить затраты энергии и повысить производительность.

Что такое КПД цикла и почему он важен

КПД цикла может быть определен различными способами в зависимости от типа двигателя, например, внутреннего сгорания или парового. В общем случае он вычисляется как отношение полезной работы к затраченной энергии.

Знание КПД цикла позволяет оценить эффективность работы теплового двигателя и определить, насколько система энергообеспечения эффективно использует энергию топлива. Чем выше КПД цикла, тем экономичнее и эффективнее работает двигатель.

Более высокий КПД цикла также означает меньшую потерю энергии в виде ненужного тепла или механических потерь, что приводит к меньшим экологическим нагрузкам и снижению потребления ресурсов.

Поэтому понимание и расчет КПД цикла являются важными для разработки более эффективных и экономичных систем энергопроизводства и применения тепловых двигателей в различных отраслях промышленности и транспорта.

Комплексность понятия эффективности

Для определения КПД цикла необходимо провести анализ всего процесса, учитывая все изменения в работе системы, внешние воздействия и преобразования энергии. Важно отслеживать тепловые потери, которые происходят во время преобразования энергии и могут снизить эффективность работы системы.

Другими факторами, которые влияют на эффективность, являются потери из-за трения, перетоки энергии из и в окружающую среду, а также неизбежные потери, связанные с конструктивными особенностями системы. Все эти факторы должны быть учтены и проанализированы для определения точного значения КПД.

Определение КПД цикла может быть выполнено с помощью математических расчетов, используя данные о входной и выходной энергии цикла. Применение формул и методов технической термодинамики позволяет получить более точные результаты, учитывая все факторы, влияющие на КПД.

Факторы, влияющие на КПД цикла:
Теплопотери
Потери из-за трения
Переток энергии в окружающую среду
Неконтролируемые потери

Таким образом, понятие эффективности (КПД) является достаточно сложным и требует комплексного подхода к анализу работы системы. Определение точного значения КПД цикла требует учета множества факторов, влияющих на эффективность работы системы.

Основные принципы расчета КПД цикла

При расчете КПД цикла необходимо учитывать следующие основные принципы:

1. Определение потоков входящей и выходящей энергии.
2. Учет всех энергетических потерь в цикле.
3. Определение полезной работы, выполняемой системой.
4. Вычисление КПД как отношения полезной работы к затраченной энергии.

Для правильного расчета КПД цикла необходимо учитывать все возможные потери энергии, такие как механические, тепловые и др. Также важно определить, какая часть входящей энергии превращается в полезную работу, а какая часть теряется в виде нежелательных эффектов.

Наконец, КПД цикла может быть рассчитан как отношение полезной работы к затраченной энергии. Это позволяет оценить эффективность работы системы и провести сравнение различных вариантов конструкции или эксплуатации.

Учет всех факторов влияния

При расчете КПД цикла необходимо учитывать все факторы, которые влияют на процесс и эффективность работы системы. Важно понимать, что КПД может быть разным в зависимости от условий эксплуатации и использования. Вот некоторые из основных факторов, которые следует учитывать при расчете КПД цикла:

Фактор влияния Описание
Теплообмен Учет потерь тепла, связанных с теплообменом между системой и окружающей средой.
Термодинамические потери Учет потерь энергии, связанных с неидеальностями рабочего вещества и устройствами системы.
Неуправляемые потери Учет неуправляемых потерь энергии, таких как потери в трубопроводах, фильтрах, клапанах и других элементах системы.
Электрические потери Учет потерь энергии, связанных с преобразованием электрической энергии в механическую, тепловую или другую форму энергии.
Механические потери Учет потерь энергии, связанных с трением, износом и другими механическими процессами.
Внутренние потери Учет потерь энергии, связанных с внутренними протечками, утечками, утечками сливов и другими неизбежными процессами в системе.

При расчете КПД цикла все эти факторы должны быть учтены и приведены в соответствующие формулы и уравнения. Пренебрежение хотя бы одним из этих факторов может привести к неточным результатам и неправильным выводам о эффективности работы системы.

Как измерить эффективность цикла

Эффективность цикла измеряется с помощью показателя, называемого КПД (коэффициент полезного действия). КПД позволяет определить, насколько эффективно работает цикл и какой процент входящей энергии или действия превращается в полезный результат.

Существует несколько способов расчета КПД в зависимости от конкретного цикла. Например, для тепловых двигателей КПД рассчитывается как отношение полезной работы к затраченной энергии. В случае холодильных машин КПД можно выразить через отношение полезной холодильной мощности к затраченной электроэнергии.

Для определения КПД может потребоваться измерение различных параметров и величин, таких как температура, давление, скорость и другие физические величины. Для этого применяются различные специальные приборы и методы измерений.

Однако в некоторых случаях КПД можно также оценить качественно на основе наблюдаемых результатов и сравнения сопоставимых циклов. Например, если при одинаковых условиях один цикл производит больше полезной работы, чем другой, то можно сделать вывод о его более высокой эффективности.

Важно помнить, что КПД зависит от ряда факторов, таких как условия эксплуатации, технические характеристики устройства и другие. Поэтому для достоверного определения КПД необходимо учитывать все эти факторы и проводить расчеты на основе точных данных.

Измерение эффективности цикла и определение КПД позволяет не только оценить работу устройства или процесса, но и определить его энергозатратность и возможность увеличения производительности. Это важный аспект при разработке и совершенствовании различных технических систем и технологий.

Цикл Карно и его к.п.д. для идеального газа.

Цикл Карно— это обратимый круговой процесс, состоящий из двух адиабатических и двух изотермических процессов. В процессе Карно термодинамическая система выполняет механическую работу и обменивается теплотой с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные, но различающиеся температуры. Резервуар с более высокой температурой называется нагревателем, а с более низкой температурой — холодильником.

КПД для идеального газа— Вычислим КПД цикла Карно для идеального газа. При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остаётся постоянной. Поэтому количество полученной газом теплоты равно работе , совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2.(рис 2) Эта работа равна

,

где – масса идеального газа в тепловой машине.

Количество отдаваемой холодильнику теплоты равно работе , затраченной на сжатие газа при переходе его из состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна

.

Для того чтобы цикл был замкнутым, состояние 1 и 4 должны лежать на одной и той же адиабате. Отсюда вытекает условие

.

Аналогично для состояний 2 и 3 должно вытекать условие

.

Разделив одно соотношение на другое, приходим к условию замкнутости цикла

.

Теперь подставляя и в выражение для КПД, получим

. (2)

В результате получим формулу для КПД цикла Карно:

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *