Как по передаточной функции определить работоспособность

Экспресс-анализ сар по ее передаточной функции

Для линейных систем, не содержащих элементов запаздывания, передаточная функция является дробно-рациональной, т.е. имеет вид дроби, в числителе и знаменателе которой записаны полиномы от переменной p в русской технической литературе или s в английской. В общем виде передаточную функцию записывают так:

Инженерам же удобнее применять форму, которую можно назвать канонической, когда свободные члены полиномов, как числителя, так и знаменателя равны единице:

Это позволяет при анализе свойств системы без выполнения каких-либо сложных математических действий сразу получать важные сведения о системе, в частности, реализуема ли она. Условие физической реализации: степень числителя m должна быть меньше степени знаменателя n (m < n).

Для приведения (2) к виду (3) достаточно в числителе и знаменателе вынести c₀ и d₀ соответственно за скобки и разделить c₀ на d₀, что даст величину k. В большинстве практически значимых случаев система содержит не более одного – двух форсирующих звеньев, поэтому передаточную функцию можно и целесообразно представить в виде:

Для разложения числителя (3) на простые множители при m = 2 потребуется решить квадратное уравнение.

При анализе линейной системы в первую очередь интересно знать, устойчива ли она, а на следующем этапе определяется качество САР в статике, переходном и установившемся режимах. Качество может характеризоваться как прямыми, так и косвенными параметрами.

2. Характеристики и свойства линейной системы, лежащие на поверхности

2.1. Оценка свойств системы по передаточной функции ее замкнутого контура

Главные вопросы при анализе свойств САР – ее работоспособность и качество. Если рассматриваемая система заведомо устойчива, а значит, в принципе работоспособна, то можно заняться изучением непосредственно параметров ее качества. Но если не известно, устойчива ли САР, то оценить степень ее устойчивости с высокой степенью вероятности без сложных вычислений могут помочь следующие правила.

2.1.1.Устойчивость

Передаточная функция Ф(p) замкнутой САР позволяет охарактеризовать все свойства исследуемой линейной системы. В первую очередь необходимо установить, устойчива ли САР. Ответ на этот вопрос дает применение критериев устойчивости, но они требуют выполнения некоторых действий, в том числе и в программах моделирования. Наряду с классическими критериями устойчивости желательно было бы иметь достаточно простые в применении правила, позволяющие судить об устойчивости на вскидку, путем сравнения самих коэффициентов характеристического полинома или, по крайней мере, простых арифметических выражений, составленных из них.

К сожалению, в литературе не встречается рекомендаций на эту тему, за исключением систем первого, второго и третьего порядков, для которых простые правила даются критерием устойчивости Гурвица. Поэтому оценка устойчивости системы на вскидку по ее характеристическому полиному требует привлечения инженерной интуиции. Тем не менее, здесь могут быть даны некоторые рекомендации, упрощающие эту работу.

Пусть передаточная функция Ф(p) замкнутой САР имеет вид:

/>В первую очередь целесообразно посмотреть, устойчива ли низкочастотная часть исходной САР. Для этого рассматривается усеченная передаточная функция:

Примечание ВЕК. В приведенной формуле, вероятно, описка: необходимо заменить p n -1 на p 3 .

Здесь, в соответствии с критерием Гурвица для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы a_n-3<a_n-2*a_n-1 , что легко проверяется в уме или на калькуляторе. Оптимизма прибавится, если НЧ часть будет иметь хороший запас устойчивости, когда левая часть неравенства будет в несколько (много) раз меньшей, чем правая.

2. Коэффициенты полинома a_n-3, a_n-2 и a_n-1 у устойчивой системы могут быть разными, они могут возрастать или убывать с понижением индекса. Коэффициенты полинома, начиная с a_n-3, у устойчивой системы убывают все быстрее с уменьшением индекса.

Практическую верхнюю границу скорости убывания при которой система скорее всего устойчива, можно, например, задать системой неравенств:

Критерии устойчивости (Лекция)

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий,

2) критерий Стодолы,

3) критерий Гурвица,

4) критерий Найквиста,

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания. Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.

2. Корневой критерий

Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.

Корни характеристического уравнения (они обозначены звездочкой) могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости.

Виды корней характеристического уравнения:

положительные (корень № 1);

комплексные сопряженные (4);

По кратности корни бывают:

одиночные (1, 2, 3);

сопряженные (4, 5): s_i = a ± j w ;

Корневой критерий формулируется следующим образом:

Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

Пример 4.1. Передаточная функция системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение: s 3 + 2 s 2 + 2.25 s + 1.25 = 0.

Следовательно, система устойчива.

3. Критерий Стодолы

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

То есть, для передаточная из примера 4.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

4. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид, как показано на рисунке ниже.

W_p — передаточная функция регулятора,

W_y — передаточная функция объекта управления.

Определим передаточную функцию для прямой связи (передаточную функцию разомкнутой системы): W _¥ = W_p W_y .

Далее с учетом наличия отрицательной обратной связи получаем передаточную функцию замкнутой системы:

.

Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

.

Тогда после подстановки и преобразования получаем:

.

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W _¥ :

D _з( s ) = A ( s ) + B ( s ).

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_{n +1} по a ₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 ( a ₀, a ₂, a ₄… или a ₁, a ₃, a ₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица .

Для этого определяется ХПЗС :

D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

Матрица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

,

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива.

5. Критерий Михайлова

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где t — запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

D _з (s) = A(s) + B(s) . e — t s .

2) Подставляется s = j w : D _з (j w ) =Re( w ) + Im( w ).

3) Записывается уравнение годографа Михайлова D _з( j w ) и строится кривая на комплексной плоскости.

Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ¥ n квадрантов, где n — степень характеристического полинома.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

6. Критерий Найквиста

Данный критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФХ системы, поэтому более сложен для расчетов.

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .

2) Определяется число правых корней m .

3) Подставляется s = j w : W _¥ ( j w ).

4) Строится АФХ разомкнутой системы.

Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при увеличении w от 0 до ¥ АФХ W _¥ ( j w ) m раз охватывала точку (-1; 0), где m — число правых корней разомкнутой системы.

Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости.

В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A ( s ) = 0 корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий, согласно критерию, замкнутая система является устойчивой, если АФХ разомкнутой системы W _¥ ( j w ) не охватывала точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (или на границе устойчивости).

7. Показатели качества

Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.

Показатели качества разбиты на 4 группы:

1) прямые — определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,

2) корневые — определяемые по корням характеристического полинома,

3) частотные — по частотным характеристикам,

4) интегральные — получаемые путем интегрирования функций.

8. Прямые показатели качества

К ним относятся: степень затухания y , перерегулирование s , статическая ошибка е_ст, время регулирования t_p и др.

Рис. 4.4

Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (см. рис. 1.38).

Сразу по ней определяется установившееся значение выходной величины у_уст.

Степень затухания y определяется по формуле

,

где А₁ и А₃ — соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.

Перерегулирование s = , где y_max — максимум переходной кривой.

Статическая ошибка е_ст = х — у_уст, где х — входная величина.

Время достижения первого максимума t _м определяется по графику.

Время регулирования t_p определяется следующим образом: Находится допустимое отклонение D = 5% у_уст и строится «трубка» толщиной 2 D . Время t_p соответствует последней точке пересечения y ( t ) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.

9. Корневые показатели качества

К ним относятся: степень колебательности m , степень устойчивости h и др.

Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:

Степень устойчивости h определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.

h = min ,

где Re ( s_i ) — действительная часть корня s_i .

Степень колебательности m рассчитывается через угол g : m = tg g . Для определения g проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости. g — угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле:

m = min .

10. Частотные показатели качества

Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.

По АФХ определяются запасы: D A — по амплитуде, D j — по фазе.

Запас D A определяется по точке пересечения АФХ с отрицательной действительной полуосью.

Для определения D j строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас D j определяется по точке пересечения с этой окружностью.

По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию М и ошибке М_Е как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.

Связи между показателями качества.Описанные выше показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:

; t_p = ; ; M = .

Передаточная функция

Передаточная функция – это способ математического описания динамической системы.

Передаточная функция в основном используется в цифровой обработке сигналов, а также в теории управления. Она представляет собой дифференциальный оператор, который выражает связь между выходом и входом линейной стационарной системы. Если известны передаточная функция и входной сигнал системы, то можно восстановить выходной сигнал. В теории управления передаточная функция непрерывной системы является отношением преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое связывает между собой функцию комплексного переменного с функцией вещественного переменного.

Передаточная функция какой-либо системы определяет все ее динамические свойства, таким образом первоочередная задача расчета системы управления сводится к определению ее передаточной функции. К основным свойствам передаточных функций относятся:

1. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал для передаточной функции.
2. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции не может быть больше порядка полинома ее знаменателя.
3. Числитель и знаменатель передаточной функции представляют собой характеристические полиномы дифференциального уравнения перемещения линейной системы. Полюса передаточной функции являются корнями характеристического полинома знаменателя, а нули корни характеристического полинома числителя.
4. Для систем с неизменяемыми параметрами компонентов и с сосредоточенными параметрами передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию

Передаточная функция электрической цепи. Пример решения задач

Передаточная функция линейной электрической цепи представляет собой отношение электрической выходной величины к входному воздействию, которые выражены в операторной форме и рассматриваются при нулевых начальных условиях, таким образом выражение передаточной функции выглядит следующим образом:

где: F2 — выходная электрическая величина; F1 — входное воздействие.

Различают следующие основные виды передаточных функций для электрических цепей:

1. Безразмерная (по напряжению) передаточная функция.
2. Фазо-частотная характеристика.
3. Амплитудно-частотная характеристика.

Общий вид передаточной функции по напряжению, которая очень часто используется для анализа электрических цепей частотными методами, следующий:

Рассмотрим схему электрической цепи, которая представлена на рисунке ниже:

Рисунок 1. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В комплексном виде передаточная функция для нее будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В вышеприведенном выражении модуль:

Рассмотрим схему, которая представлена на рисунке ниже

Рисунок 3. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Необходимо определить коэффициент передачи по напряжению, а также амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики для вышеприведенной цепи. Для нее формула для расчета коэффициента передачи по напряжению будет иметь следующий вид:

$Hu(jw) = U2(jw) / U1(jw)$

Выражение комплексной функции U2(jw) будет иметь следующий вид:

$U2 = I(jw)*(1/jwC)=U1(jw) / (R+(1/jwC)) * 1/jwC = U1(jw) / (1+(jwRC)$

Если мы подставим формулу для U2 в выражение для Hu(jw), то получим комплексную передаточную функцию следующего вида:

Таким образом амплитудно-частотную характеристику рассматриваемой цепи можно выразить:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Фазо-частотная характеристика определяется по формуле:

Если изменять частоту (w) от 0 до определенного значения, можно изобразить графики фазо-частотной и амплитудно-частотной характеристик.

Рисунок 5. Графики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики могут быть представлены единым графиком, если построить зависимость комплексной передаточной функции от частоты w на комплексной плоскости. В данном случае конец вектора передаточной функции будет описывать кривую, называемую годографом комплексной передаточной функции.

Рисунок 6. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В некоторых случаях оперируют таким понятием, как логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Передаточная функция

Пример . Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка:
(2)
1) Передаточная функция ОУ в общем случае может быть представлена в виде отношения
W(iω) = A(ω)e iφ(ω) = U(ω) + iV(ω),
где R(p)и Q(p) – изображения по Лапласу выходной и входной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения 1. Отсюда, передаточная функция будет иметь вид:
(3)
или
. (4)

2) Определим частотные характеристики ОУ. Известно, что частотная передаточная функция W(ω) может быть представлена в виде:
, (5)
где A(ω) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
φ(ω) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ);
U(ω) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
V(ω) – мнимая частотная характеристика;
Подставим iω в выражение (3) вместо p . Получим:
(6)
На основе выражений (5) и (6) выделим отдельно амплитудную и фазовую частотные характеристики и подставим численные значения коэффициентов. Исходя из того, что:
A(ω) = |W(iω)|
φ(ω) = arg(W(iω))
(см. комплексные числа). Окончательно получим: (7)

3) Определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ).
Известно, что ЛАЧХ определяется из соотношения:
L(ω) = 20lg(A(ω)) (8)
Данная характеристика имеет размерность дБ (децибелы) и показывает изменение отношения мощностей выходной величины к входной. Для удобства ЛАЧХ строят в логарифмическом масштабе.
Фазовая частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе, будет называться логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).
Примеры построения ЛАЧХ и ЛФЧХ для наших исходных данных приведены на рисунке 1.
Определим импульсную переходную (весовую) функцию. Весовая функция w(t) представляет собой реакцию системы на единичную импульсную функцию, поданную на ее вход. Весовая функция связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа.
. (9)
Следовательно, весовую функцию можно найти, применив обратное преобразование Лапласа к передаточной функции.
w(t) = L -1 [W(p)] (10)

Рисунок 1 — L(ω) – ЛАЧХ системы (Дб); φ(ω) – ЛФЧХ системы (град); ω – частота входного сигнала (рад/с)